線形代数学の問題です3次まとも方行列a 0 0 A= 0

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線形代数の問題です。
3次まとも方行列
a 0 0
A= 0 b 0
0 0 c
a.b.cは実数に対して、AX=XAを満たす行列Xを求めよ。
という問い掛け題です。
正直解き方が悉にわからないです。
解決法は5つほどの場合分けを行なっています。

どなたか解明お願いします。ID非公開さんX=x_ij とする.AX=XA から[a*x_11 a*x_12 a*x_13][b*x_21 b*x_22 b*x_23][c*x_31 c*x_32 c*x_33]=[a*x_11 b*x_12 c*x_13][a*x_21 b*x_22 c*x_23][a*x_31 b*x_32 c*x_33]よってa*x_12=b*x_12 anda*x_13=c*x_13 andb*x_21=a*x_21 andb*x_23=c*x_23 andc*x_31=a*x_31 andc*x_32=b*x_32?a-bx_12=0 anda-cx_13=0 andb-ax_21=0 andb-cx_23=0 andc-ax_31=0 andc-bx_32=0場合分けしてa=b ならば, x_12,x_21 は任意a≠b ならば, x_12=x_21=0そしてa=c ならば, x_13,x_31 は任意a≠c ならば, x_13=x_31=0そしてb=c ならば, x_23,x_32 は任意b≠c ならば, x_23=x_32=0組み合わせとしてa=b=c のとき, x_ij は途方て任意a=b かつ a≠c かつ b≠c のとき, x_12,x_21 は任意, x_13=x_31=x_23=x_32=0b=c かつ a≠b かつ a≠c のとき, x_23,x_32 は任意, x_12=x_21=x_13=x_31=0c=a かつ c≠b かつ a≠b のとき, x_13,x_31 は任意, x_23=x_32=x_12=x_21=0a≠b かつ b≠c かつ c≠a のとき, x_12=x_21=x_13=x_31=x_23=x_32=0。

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